ISFA 2002 2eme epreuve de mathematiques option b

I. S. F. A. 2002-2003 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrices autorisées. OPTION B PRELIMINAIRES Un contrat d’assurance décès liant un assureur et un assuré engage le premier au versement du capital fixé au contrat en cas de décès de l’assuré pendant la période de garantie, que l’on prendra égale à une année dans ce problème. En contrepartie de la garantie offerte, l’assuré verse, à la souscription du contrat, une « prime » à l’assureur. Le portefeuille d’un assureur est constitué de υ contrats du type ci-dessus. Exprimés dans un multiple convenable d’euros, les capitaux assurés prennent les valeurs 1, 2,…,a . Les assurés sont d’autre part rangés dans b classes d’âge : ceux de la classe j ont la probabilité annuelle de décès p avec p <12 (j=1,2,…,b). j j On suppose de plus qu’au sein de ce portefeuille, les décès sont indépendants : les variables aléatoires réelles (v.a.r.) associées à 2 contrats différents sont des v.a.r. indépendantes. La répartition des υ contrats en capitaux et classes est décrite dans le tableau suivant Classes 1 L j L b Total Capitaux 1 υ υ υ 11 1 j 1bM i υυυ21 ij ibM a υυυa1 aj abυ Total υ L L υ υ1 j badans lequel υ désigne le nombre de contrats de la classe j prévoyant le versement du capital i . On note υ =υ ∑ij jiji =1bavec υ=υ . ∑ jj =1 On pose (j=1,…,b) . ...