ISFA 2000 2eme epreuve de mathematiques option a

I. S. F. A. 2000-2001 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A L’exercice et le problème sont indépendants. Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2 On considère dans IR les deux domaines suivants : 2  2 2u D = (u, v)∈ IR 2 < u < 4 et 1< v < ; ∆= (,xy∈)IR2< x+ y< 4 etxy> 1 et x< y . { }  4 2 2 1°) Montrer que D et ∆ sont deux ouverts bornés de IR et que l’application ϕ de ∆ dans IR : u = x + y∞ (x, y) → (u, v) = ϕ(x, y) avec est une bijection C de ∆ sur D.  v = xy  Calculer son jacobien. 2°) En utilisant le résultat précédent, calculer l’intégrale 2 2 I = (x − y ) cos(xy)dxdy . ∫∫∆ 3°) Calculer à nouveau I, mais en utilisant cette fois la formule de Green Riemann. (On ne s’attardera pas à justifier la légitimité du changement de variables dans I, ni la légitimité d’application de la formule de Green Riemann). PROBLEME 1 nI. On considère une application W de classe C de IR dans IR convexe, c’est-à-dire vérifiant pour tout couple n(x, y) de IR et tout λ∈[]0,1 W((1−λ)x +λy) ≤ (1−λ)W(x) + λW(y) . nPour h et x fixés dans IR, 0h ≠ et t réel on pose ϕ (t) = W(x + th) . (h,x)1°) Montrer que ϕ est aussi convexe de IR dans IR , en déduire que (h,x) ϕ (0) ≤ ϕ (1) −ϕ (0). ′(h,x) (h,x) (h,xn2°) En conclure que, pour tout couple (x, y) de IR , on a l’inégalité : gradW(x), y − x ≤ W(y) ...