ISFA 1999 2eme epreuve de mathematiques option a

I. S. F. A. 1999-2000 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Calculatrices interdites. Les quatre exercices proposés sont indépendants. EXERCICE 1 Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réels α et β pour que toutes les solutions du système différentiel x′′()t =−(α+β)x()t +βy()t y′()t =βx()t −βy()t2soient des fonctions t →()xt , y(t) bornées de IR dans IR . EXERCICE 2 1) Par intégration par parties successives établir que pour tout entier naturel n : +∞−u n n!= e u du . ∫ 02) En faisant le changement de variable u = n+ x n , établir pour tout entier naturel non nul n : +∞n+1 −nn .e x x n!= exp( n(n(1+ )− ))dx . ∫n n n− n3) On considère la suite de fonctions ()f de IR dans IR définie par : n n≥1 f ()x = 0 si x≤− n n  −x x n +n 1+   n n    f ()x = e pour x>− n . n Montrer que ()f est une suite de fonctions continues par morceaux convergent simplement vers la n n≥12− x2fonction : x→ e . 4) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 : n et pour tout x≥ 0 on pose :   − x x ϕ()x = n +n1+  + x−n()1+ x .   n n  +Montrer que ϕ est décroissante sur IR , en déduire que pour tout x≥ 0 on a ϕ()x ≤ 0 , puis que pour tout n entier naturel non nul et tout x≥ 0 : −x 0≤ f ()x ≤ e (1+ x) . n5) Pour u réel satisfaisant ...