ISFA 1998 1ere epreuve de mathematiques

I. S. F. A. 1998-1999 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ________________________________________ Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants I On note Γ()t , ψ()t et ϕ()t les intégrales : ∞−t 1 ∞−t 1 ∞−t 1x x xΓ()t = dx ; ψ()t = dx ; ϕ()t = dx . ∫ ∫ ∫x x xe e + 1 e − 1o o o1°- Justifier pour t>0 l’existence de Γ()t et ψ()t et, pour t>1, l'existence de ϕ()t . 2°- Montrer que, pour t>1, Γ ( t )= ( t− 1)Γ ( t− 1) . Calculer Γ()n pour n entier strictement positif. Dans la suite du problème on suppose t>1 * 3°- On note ϕ ()t et ψ ()t les suites définies sur N par : n n∞−x −x −nx t−1n→ϕ ()t = e (1+ e ++ e ) x dx n ∫o∞−x −x n −nx t−1n→ψ ()t = e (1− e ++(−1) e ) x dx n ∫o(Il n'est pas demandé de justifier l'existence des intégrales ϕ ( t ) et ψ ( t ) ( voir 1°-)) n nJustifier les inégalités : ∞Γ ( t−1)−( n+1 )x t−2 ϕ ( t )−ϕ( t ) ≤ e x dx= n ∫ t−1( n+ 1)o∞Γ ( t )−( n+2 )x t−1 ψ ( t )−ψ ( t ) ≤ e x dx= n ∫ t( n+ 2 )o4°- On pose, pour n entier strictement positif : n+11 1 1 (−1) U ( t )= 1+ + ..+ ; S ( t )= 1− + ..+ n nt t t t2 n 2 nMontrer que : ϕ ( t )=Γ ( t )×U ( t ) ; ψ ( t )= Γ ( t )× S ( t ) n n+1 n n+1n+1(−1)1Déduire la convergence des séries et . ∑ ∑t tn n≥1 nn≥1En notant U(t) et S(t) les sommes de ces deux séries montrer que : 1 1 U( t )−U ( t ) ≤ ...