ISC 1999 mathematiques classe prepa hec (ect)

ISC 1999 Option technologiqueExercice 1   −2 2 −3 1 0 0   Soient A = 3 −7 9 et I = 0 1 02 −4 5 0 0 11.2 2(a) Calculer A , puis d´eterminer a et b tels que A =aA+bI.−1(b) En d´eduire que la matrice A est inversible et exprimer son inverse A en fonction de A et I, puis−1calculer A .−2x+2y−3z = 2−1(c) Utiliser le calcul de A pour r´esoudre le syst`eme 3x−7y +9z = 02x−4y +5z =−22. D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entier naturel n, on a :n n n nA = (−1) [(1−2 )A+(2−2 )I].Exercice 2−uOn rappelle que pour tout u r´eel, expu =e .1. On d´efinit les deux fonctions φ et ψ surR par :+1−u −u 2φ(u) =e −1+u et ψ(u) =e −1+u− u .2(a) Etudier les variations de la fonction φ sur R , construire son tableau de variations, et en d´eduire le+signe de φ surR .+0(b) Montrer que pour tout r´eelu deR ,ψ (u) =−φ(u). en d´eduire les variations de la fonctionψ surR ,+ +construire son tableau de variations, et en d´eduire le signe de ψ surR .+(c) A partir de l’´etude faite en a) et b), montrer que pour tout r´eel u positif ou nul on a :1−u 21−u6e 6 1−u+ u .22. Pour n entier naturel non nul, on d´efinit sur [0,1] la fonction f par :n2x 2− xnf (x) =e exp −nn1Zet on pose I = f (x)dx.n n0(a) En utilisant la double in´egalit´e obtenue a` la partie I c) , montrer que, pour tout x de [0,1], on a :2 2 4x x x1− 6f (x)6 1− + .n 2n n 2nEn d´eduire en fonction de n un encadrement de I .n(b) Montrer que la suite (I ) est convergente et pr´eciser sa ...