INSEEC 2002 mathematiques classe prepa hec (ecs)

INSEECMATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option scientifique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.1 Exercice 1Soit n∈N. On se propose d’´etudier l’existence et les propri´et´es des polynˆomes P (X) tels que :n 1 1n∀t∈C−{0}, P t+ =t + (relation 1)n nt t1.(a) Montrer que si P existe alors P est unique.n n12(b) Justifier queP (X) = 2, queP (X) =X et , en d´eveloppant (t+ ) , calculerP (X) v´erifiant0 1 2tla relation (relation 1).2. Montrer par r´ecurrence que : ∀n∈N, P existe etnP (X) =XP (X)−P (X). (relation 2)n+2 n+1 n3. D´eterminer le degr´e de P , son terme de plus haut degr´e et sa parit´e.n4.1(a) Soit θ ∈ R. D´eterminer un complexe non nul t , t ∈ C−{0}, tel que t + = 2 cos(θ) puistcalculer P (2 cos(θ)) en fonction de n et θ.n(b) En d´eduire les racines de P en fonction de n et une factorisation de P dansR[X].n n1n(c) R´esoudre dansC l’´equation t + = 0 et retrouver ainsi le r´esultat pr´ec´edent.nt5.(a) Calculer P (X).5(b) En d´eduire une factorisation de P (X) dansR[X].5 π(c) En comparant cette factorisation et celle obtenue en 4.b) donner les valeurs exactes de cos10 3πet cos .102 Exercice 2 0 −2 1 Soit la matrice M = −2 3 −2 .1 −2 03Le produit scalaire utilis´e dans cet exercice est le produit scalaire canonique surR .1. Justifier que M est diagonalisable.12. ...