HEC 2007 mathematiques 2 classe prepa hec (s)

HEC 2007, math 2, option scientifiquePour toute variable al´eatoire r´eelle Y d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω,A,P) et poss´edantune esp´erance math´ematique, on note E(Y) cette esp´erance pour la probabilit´e P. Pour tout´ev´enement C de A tel que P(C)> 0, on note, sous r´eserve d’existence, E(Y/C) l’esp´erance de Ypour la probabilit´e conditionnelle P (esp´erance conditionnelle de Y sachant C).CPartie ICette partie constitue une application particuli`ere des r´esultats g´en´eraux ´etudi´es dans la suite duprobl`eme.On poss`eden urnes (n> 3) num´erot´ees de 1 a`n, dans lesquelles on r´epartit au hasard et de fa¸conind´ependante,m boules indiscernables (m> 4), de sorte que, pour touti de [1,n]], la probabilit´epour chaque boule d’ˆetre plac´ee dans l’urne num´ero i soit ´egale `a 1/n.`On suppose que cette exp´erience est mod´elis´ee par un espace probabilis´e (Ω,A,P). A l’issue decette exp´erience, on pose pour tout i de [[1,n]] :n o1 si l’urne n i est videX =i0 sinonnXOn pose W = X .n ii=11)a)D´eterminer pour tout i de [[1,n]], la loi de la variable al´eatoire X .ib)Pour tout couple (i,j) d’entiers de [[1,n]] distincts, calculerP([X = 1]∩[X = 1]), ainsi quei jla covariance de X et X . Les variables al´eatoires X et X sont-elles ind´ependantes?i j i j2)a)Exprimer l’esp´erance E(W ) de W en fonction de n et m.n nb)On note V(W ) la variance de W . Calculer V(W ) en fonction de n et m.n n n 2m m1 22c) V´erifier l’´egalit´e : E(W )−V(W ) =n ...