HEC 2005 mathematiques ii classe prepa hec (s)

HEC 2005, math 2Dans tout le probl`eme, n et r d´esignent des entiers strictement positifs. On note M (R),n,rl’ensemble des matrices rectangulaires a` n lignes et r colonnes a` coefficients r´eels. Pour n =r, onpose M (R) =M (R).n n,n∗ nPour tout entier n deN , on identifieR et M (R).n,1tLa transpos´ee d’une matriceA appartenant `aM (R) est not´ee A. On pourra ´egalement la noternTA .On ´etudie dans ce probl`eme, quelques propri´et´es du mod`ele lin´eaire, qui constitue l’instrumentde base de l’´econom´etrie.Partie I : Trace et matrices al´eatoiresPour toute matrice M appartenant a` M (R), on appelle trace de M, not´ee tr(M), la somme dennXses coefficients diagonaux; ainsi, si M = (m ) , tr(M) = m .i,j 16i,j6n i,ii=1On rappelle les trois r´esultats suivants (que les candidats n’ont pas a` d´emontrer)• l’application tr qui, a` toute matrice M deM (R), associe sa trace, est une application lin´eairende M (R) dansR;n• si A est une matrice de M (R) et B une matrice de M (R), alors tr(AB) = tr(BA);n,r r,n• si M et N sont deux matrices semblables de M (R), alors tr(M) = tr(N).n1) SoitM une matricedeM (R) poss´edantq valeurs propres (16q6n) not´eesλ ,λ ,...,λ .n 1 2 qPour tout entier i de [[1,q]], on d´esigne par n la dimension du sous-espace propre associ´e a`ila valeur propre λ .iqXa) On suppose que la matrice M est diagonalisable surR. Montrer que tr(M) = n λ .i ii=1b)OnsupposequelamatriceM = (m ) deM (R)estsym´etrique.Montrerles´egalit´esi,j 16i,j6n ...