HEC 2005 mathematiques ii classe prepa hec (eco)

CCIP MATHÉMATIQUES II OPTION ÉCONOMIQUE Durée 4 heures Mardi 10 Mai 2005 , de 8 h. à 12 h. La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée. L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés d'un estimateur du paramètre p d'une loi géométrique. Partie I . Formule du binôme négatif . Pour tout couple (n ; r) d'entiers naturels tels que 0 £ r £ n , on rappelle la formule du n n - 1 n - 1« triangle de Pascal» : = + ) ) )( ( (k k -1 knk - 1n1. Montrer que pour tout entier r de §1 ; n ¤ , on a : = . ) )( S (k r - 1kr=2. Soit (n ; r) un couple d'entiers naturels, tels que 1 £ r £ n . Pour tout réel x de ]0 ; 1[ , on définit la fonction nk kf par : f (x) = x . r ; n r ; n S ( )rkr=n n + la) Montrer, pour tout réel x de ]0 ; 1[ , l'égalité : (1 - x) f (x) = x f (x) - x . r ; n r - 1 ; n - 1 )( krnnb) On suppose l'entier r fixé. Montrer, lorsque n tend vers + ¥ , l'équivalence : ~ . )( r r !3. Soit x un réel fixé de ]0 ; 1[ et soit r un entier naturel fixé. On veut établir ...