HEC 2003 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

´ ´ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES´OPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIMercredi 7 mai 2003, de 8h a` 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE a b1. Soit a et b deux r´eels strictement positifs et A la matrice carr´ee d’ordre 2 d´efinie par : A = .b aa) Montrer que si a et b sont ´egaux, la matrice A n’est pas inversible.2b) Calculer la matrice A −2aA. En d´eduire que, si a et b sont distincts, la matrice A est inversible−1et donner la matrice A .c) Montrer que les valeurs propres de A sont a+b et a−b. a+b 0d) On pose Δ = . D´eterminer une matrice Q, carr´ee d’ordre 2 `a coefficients r´eels,0 a−b−1inversible et dont les ´el´ements de la premi`ere ligne sont ´egaux `a 1, v´erifiant A =QΔQ .−1 ne) Calculer la matrice Q et, `a l’aide de la question pr´ec´edente, calculer la matrice A pour toutentier naturel non nul n.2. Soitpunr´eelv´erifiant0