HEC 2002 mathematiques ii classe prepa hec (s)

HEC 2002, math IILes variables al´eatoires qui interviennent dans ce probl`eme sont toutes d´efinies sur un mˆemeespace probabilis´e (Ω,B,P) et a` valeurs r´eelles.L’esp´erance d’une variable al´eatoire X est not´ee E(X).On admet les r´esultats suivants :i) si X et Y sont deux variables al´eatoires poss´edant une esp´erance et v´erifiant l’in´egalit´eX 6 Y c’est-`a-dire v´erifiant X(ω) 6 Y(ω) pour tout ´el´ement ω de Ω ) alors on a l’in´egalit´e :E(X)6E(Y).´ii) Etant donn´e une fonction f continue sur [0,+∞[ et une variable al´eatoire Y poss´edant uneZ +∞densit´e ϕ continue sur [0,+∞[ et nulle sur ]−∞,0[, si l’int´egrale f(u)ϕ(u)du converge0absolument alors la variable al´eatoire f(Y) poss`ede une esp´erance v´erifiant :Z +∞E f(Y) = f(u)ϕ(u)du0Partie I : D´efinition de l’application LOn note E l’ensemble des fonctions f r´eelles d´efinies, continues sur [0,+∞[ et telles que, pourZ +∞−xttout r´eel x strictement positif, l’int´egrale e f(t)dt converge absolument.01)a)V´erifier que E est un espace vectoriel r´eel.b)V´erifier que E contient les fonctions continues et born´ees sur [0,+∞[.2) Pour tout ´el´ement f de E on note L(f) la fonction d´efinie, pour tout r´eel x strictementpositif, par :Z +∞−xtL(f)(x) = e f(t)dt0a) V´erifier que L est une application lin´eaire de E dans l’espace vectoriel des fonctions de]0,+∞[ dansR.−λtb) Pour tout r´eel λ positif ou nul, on note ε la fonction r´eelle d´efinie par ε (t) = e pourλ λtout r´eelt positif ou nul. ...