HEC 2000 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.Exercice 11. Montrer que, pour tout nombre rØel x> 0 et tout entier naturel k; inl tØgrale1Z k xtt edt51+t1est convergente.Pour quelles valeurs de l entier k cette intØgralle est-elle aussi convergente pour x = 0 ?1 xtR e2. On se propose d Øtudier la fonction F dØ…nie, pour x> 0; par F (x) = dt:51+t1Montrer que F est une fonction strictement positive, dØcroissante et quelim F (x) = 0x! +13. (a) Montrer que, pour tout rØel t> 0; tout rØel x> 0 et tout rØel h> 0; on a : 2 2t h t(x+h) tx tx txe e + t he 6 e 21/4(b) Montrer de mŒme que, pour tout rØel t> 0; tout rØel x> 0 et tout rØel h6 0; on a : 2 2t h t(x+h) tx tx t(x+h)e e + t he 6 e 2(c) En dØduire que pour tout rØel x> 0 et tout rØel h tel ...