HEC 1999 mathematiques i classe prepa b/l

6CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION BLMATHEMATIQUES ILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Ond´esiretestersilar´epartitiondesvoyellesdansuntexteanciencorresponda`celledelalanguefran¸caiseactuelle.On ´etudie quelques aspects probabilistes permettant de r´epondre `a cette question.Les parties 1 et 2 sont ind´ependantes. La partie 3 utilise les notations et les r´esultats des parties pr´ec´edentes.NotationSi X et Y sont deux variables al´eatoires discr`etes, on note cov(X,Y) leur covariance, si celle-ci existe.Partie 1Soientn ets des entiers sup´erieurs ou´egaux `a 2. On consid`ere une urne contenant des boules de couleursC ,..,C .1 ssPLes boules de couleur C sont en proportion p . On a donc p = 1 et on suppose que, pour tout i, p > 0.i i i ii=1On effectue n tirages successifs d’une boule avec remise.Pour tout ...