GEIPI mathematiques 2004

Le sujet comporte 15 pages num´erot´ees de 1 `a 15EXERCICE I - (12 points)Donner les r´eponses `a cet exercice dans les cadres pr´evus ci-dessousPartie AOn s’int´eresse `a la production d’un arbre fruitier donn´e.On sait que lors de l’ann´ee 2000, l’arbre a donn´e une bonne r´ecolte.Pour tout entier n2N, on note :-B l’´ev´enement“l’arbre donne une bonne r´ecolte durant l’ann´ee 2000+n”,n-M l’´ev´enement“l’arbre donne une mauvaise r´ecolte durant l’ann´ee 2000+n”.nSi lors de l’ann´ee 2000+n l’arbre donne une bonne r´ecolte, l’ann´ee suivante, il donne une1 2bonne r´ecolte avec la probabilit´e et il en donne une mauvaise avec la probabilit´e .3 3Si par contre lors de l’ann´ee 2000+n l’arbre donne une mauvaise r´ecolte, l’ann´ee2suivante, il donne une bonne r´ecolte avec la probabilit´e et il en donne une mauvaise avec31la probabilit´e .3I-A-1- On noteP (A) la probabilit´e de l’´ev´enement A sachant que l’´ev´enement BBest r´ealis´e.Donner, pour tout entier n2N, les probabilit´es conditionnelles suivantes :P (B ); P (B ); P (M ); P (M ):B n+1 M n+1 B n+1 M n+1n n n nI-A-2- Pour tout entier n2N, on notep la probabilit´e de l’´ev´enement B etq lan n nprobabilit´e de l’´ev´enement M , c’est `a dire : p =P(B ) etq =P(M ).n n n n nI-A-2-a- Donnerp etq .0 0I-A-2-b- Donner pour tout entier n2N, la valeur de p +q .n nI-A-3-a- Pourtoutentiern2N,d´eterminerlesprobabilit´esP(B \B )etP(B \M )n+1 n n+1 nen fonction de p et deq .n nREPONSES A L’EXERCICE I1 ...