FESIC mathematiques 2002

¨"Š€#Concours FESIC 2002Dans toute question ou` il intervient le plan (respectivement l’espace)→− →−est rapport´e`aunrep`ere orthonormal (O, ı,)=(Oxy) (respectivement→−→− −→O, ı,,k =(Oxyz)).Exercice 1Soit f la fonction d´efinie parx 1f(x)= − √ ,2 ln( x)D son ensemble de d´efinition et C sa courbe repr´esentative.a) On a: D =]0, +∞[.b) La courbe C admet une droite asymptote en +∞.xc) Pour tout x∈D,ona:f(x)< .21 2d) Pour tout x∈D,ona:f (x)= + .22 x(lnx)Exercice 2Soit f la fonction d´efinie sur R par f(x)=x+sin(πx)etC sa courberepr´esentative.a) Pour tout x r´eel, on a: f (x)=1+cos(πx).f(x)b) On a: lim =1+π.x→0 xc) La courbe C coupe la premi`ere bissectrice en chaque point d’abscisse1x =k+ ,ou`k∈Z.2d) La courbe C admet la premi`ere bissectrice comme droite asymptoteen +∞.Exercice 3Soit f et g les fonctions d´efinies par:√−2x −xf(x)=ln x+1−1 et g(x)=e +2e .On note C la courbe repr´esentative de f et Γ celle de g.Onconsid`ere larotation R de centre O et d’angle π/2. On note M le point de coordonn´ees (x,y)etd’affixez ,imageparRdupointM decoordonn´ees(x,y)etd’affixez.a) L’ensemble de d´efinition de f est I = ]−1;+∞[.b) On a: z =iz.x = −yc) On a:y = x Z!ZConcours d’entr´ee FESIC 2002 2d) Tout point M de la courbe C a une image M par R qui appartient `ala courbe Γ.Exercice 4On rappelle que 2