ESSEC 2005 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

ESSEC 2005, math II, option scientifiqueDans ce probl`eme, les variables al´eatoires sont r´eelles et toutes d´efinies sur un espace probabilis´e(Ω,A,P). (X ) repr´esente une suite de variables al´eatoires et, pour tout n > 1, on noten n>1nXS = X . Si X est une variable al´eatoire r´eelle, E(X) d´esigne son esp´erance.n ii=1Pr´eliminaires1) Soit (X ) une suite de variables al´eatoires r´eelles de mˆeme loi, admettant une esp´erancem.n´Enoncer, avec pr´ecision, la loi faible des grands nombres pour la suite (X ).n2) Soitδ un r´eel strictement positif etA un sous-ensemble deR tel que l’intervalle ]m−δ,m+δ[soit inclus dans le compl´ementaire de A. D´eterminer Snlim P ∈An→+∞ nL’objet du probl`eme est de pr´eciser de mani`ere quantitative les r´esultats ci-dessus.Partie I : Un premier exemple. Le cas gaussienDans cette partie, (X ) est une suite de variables al´eatoires ind´ependantes suivant toutes unen n>1loi normale centr´ee r´eduite,N(0,1).Sn1) Quelle est la loi de ?n2) Soit δ un r´eel strictement positif. Dans cette partie, on note exp la fonction exponentielle.a) Montrer quer Z +∞ 2 S S 2n ntn n P >δ = 2P >δ = exp − dt n n π 2δb)En posant u =n(t−δ), montrer quer Z +∞2 2 S 2 nδ un P >δ = ×exp − exp − −uδ du n nπ 2 2n03)a)Montrer que pour tout x> 0, on a 06 1−exp(−x)6x.Z +∞b)Montrer que l’int´egrale exp(−uδ)du converge et la calculer.0c) D´eterminerZ Z +∞ +∞ 2 ulim exp(−uδ)du− exp − −uδ dun→+∞ 2n0 ...