ESSEC 2005 mathematiques i classe prepa hec (ect)

ESSEC 2005 MATHEMATIQUES OPTION TECHNOLOGIQUE EXERCICE I : Calcul matriciel 1 0 0 1 0 0Ø ø Ø øŒ œ Œ œOn considère les deux matrices suivantes : A = 1 -1 -1 et I = 0 1 0 . Œ œ Œ œŒ œ Œ œ-1 4 3 0 0 1º ß º ß 2 31. a) Déterminer la matrice J telle que : A = I + J , puis calculer J et J . n b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 3, J est égale à la matrice nulle. 2. a) A l'aide de la formule du binôme, montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : n(n -1)n 2 A = I + nJ + J . 2 b) En déduire alors, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, l'expression sous forme de ntableau de la matrice A . 23. a) Développer le produit (I + J )·(I - J + J ) . -1b) En déduire que A est inversible et préciser A en fonction de I et . J Vérifier que l'égalité obtenue à la question 2.a) reste vraie si n = -1 . EXERCICE II : Résolution d'une équation numérique On note (E) l'équation numérique suivante : ln x + x = 0 . L'objectif de cet exercice est, dans un premier temps, d'établir l'existence et l'unicité de la solution de (E) puis, dans un second temps, de démontrer la convergence d'une suite vers ce réel. On pourra utiliser les approximations suivantes à 0,1 près : et . e » 2, 7 1 /e » 0, 4 1. Existence et unicité de la solution de l'équation (E) Soit f la fonction définie sur ]0,+¥[ par : "x > 0, f (x) = ln x + x . a) Calculer les limites de f en et en + ¥ . 0b) ...