ESSEC 2004 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

ESSEC 2004, math 1, option scientifiqueNotations Dans ce probl`eme, on d´esigne par n un nombre entier naturel non nul et on convientnd’identifier tout vecteur X deR a` la matrice-colonne de ses composantes x ,x ,...,x dans la1 2 nnbase canonique deR , c’est a` dire : x1x 2 X = . ..xntLa transpos´ee d’une telle matriceX est la matrice-ligne X = (x ,x ,...,x ). Le produit scalaire1 2 nncanonique d’un vecteur X et d’un vecteur Y deR est alors ´egal a` :nXthX,Yi = XY = x yi ii=1pLa norme euclidienne de X est d´efinie par ||X|| = hX,Xi et on dira qu’une suite de vecteursn n(X ) deR converge vers un vecteur X deR si la suite ||X −X|| converge vers 0.p pPour finir, on d´esigne par- I la matrice-identit´e d’ordre n- A une matrice sym´etrique r´eelle d’ordre n.Partie I : Etude d’une suite de vecteursn1) Dans cette question, on note C un vecteur non nul de composantes c ,c ...,c deR .1 2 nt ta) Expliciter le produit matriciel C C. La matrice C C est-elle diagonalisable?t 2 tb)Exprimer (C C) en fonction de C C et de la norme de C.t 2c) En d´eduire que toute valeur propre de C C est ´egale a` 0 ou a` ||C|| .d)Pr´eciser le sous-espace propre associ´e a` 0.t 2Calculer C CC en fonction de C et pr´eciser le sous-espace propre associ´e a` ||C|| .te) En d´eduire la nature de l’endomorphisme canoniquement associ´e `a la matrice C C. Montrerqu’il s’agit d’une projection orthogonale lorsque le vecteur C est unitaire.n2) Dans cette question, on d´esigne par ...