ESSEC 2003 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

ESSECMBACONCOURS D’ADMISSIONOption scientifiqueMATHEMATIQUESIILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.Le probl`eme ´etudie les rudiments de la th´eorie de la communication introduite en 1948 par Claude Shannon.Dans tout le probl`eme, (Ω,A,P) d´esigne un espace probabilis´e.Partie I Introduction informatiqueOn rappelle que les entiers compris entre 0 et 31 s’´ecrivent avec au plus 5 chiffres en binaire, on a donc :Pour tout n∈ [0,31]∩N, il existe une liste (a ,a ,a ,a ,a ) d’´el´ements de{0,1} telle que0 1 2 3 42 3 4 deuxn =a +a .2+a .2 +a .2 +a .2 =a a a a a .0 1 2 3 4 4 3 2 1 0Cette ´ecriture de n est unique et on appellera bin(n) la liste (a ,a ,a ,a ,a ).4 3 2 1 0I.1) D´eterminer l’´ecriture binaire de 6 puis bin(6) et d´eterminer bin(21) (on justifiera les r´esultats).I.2) On souhaite ´ecrire une proc´edure ...