ESSEC 2003 mathematiques ii classe prepa hec (ece)

CONCOURS D’ADMISSION DE 2003Option ´economiqueMATHEMATIQUES IILundi 12 mai 2003 de 8h `a 12hLa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copieet poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.L’objectif du probl`eme est d’´etudier les rudiments de lath´eoriedelacommunication - ou th´eoriede l’information - introduite en 1948 par Claude Shannon.D´efinitions et notations(Ω,A,P) d´esigne un espace probabilis´e.ln(x)ϕ est la fonction d´efinie sur ]0,1] par x7→ϕ(x) =− .ln(2)Pour un ´ev´enement A de probabilit´e non nulle, on pose i(A) =ϕ(P(A)).h est la fonction d´efinie sur [0,1] parln(x)h(0) = 0 et pour x∈]0,1], h(x) =−xln(2)Pourunevariableal´eatoireX discr`eted´efiniesur(Ω,A,P)`avaleursr´eelles,onposesousr´eserved’existence : XH(X) = h(P(X =x))x∈X(Ω)Si X est a` valeurs dans un ensemble fini{x ,x ,...,x }, alors H(X) existe et,1 2 nen notant p =P(X =x ), on a :k kn ...