ESSEC 2003 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

6ESSEC 2003, Math 1, option S.Dans tout le probl`eme, on d´esigne par n un entier naturel et par :•R [x] l’espace vectoriel des fonctions-polynomˆ es de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n.nn n• C (R) l’espace vectoriel des fs r´eelles de classe C surR.0En particulier, C (R) est l’espace vectoriel des fonctions r´eelles continues surR.0A toute fonction f appartenant `a C (R), on associe l’application not´ee φf d´efinie surR par :Z xφf(x) = f(t)dtx−10On d´efinit ainsi un endomorphismeφ de l’espace vectorielC (R) dont on se propose dans la suited’´etudier quelques propri´et´es au travers de parties qui sont largement ind´ependantes.Partie I: G´en´eralit´es.1) Dans cette question, on ´etudie quelques propri´et´es de φf en fonction de celles de f.a) Prouver l’´egalit´e suivante, pour toute fonction continue f et tout nombre r´eel x :Z 1φf(x) = f(x+u−1)du0b)On suppose la fonction f paire (resp. impaire). Exprimer φf(−x) en fonction de φf(x+1).c) On suppose la f f croissante (resp. d´ecroissante). Est-ce le cas de φf ?d)On suppose la fonction f convexe (resp. concave). Est-ce le cas de φf ?e) On suppose que la fonction f a une limite L en ±∞. Est-ce le cas de φf ?2) Dans cette question, on ´etudie l’endomorphisme induit par φ surR [x].na) Montrer que R [x] est stable par φ. On note alors φ l’endomorphisme induit par φ surn nR [x].nb)D´eterminer la matrice de φ dans la base canonique deR [x].n nc) D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de φ ...