ESSEC 2001 mathematiques iii classe prepa hec (ece)

ESSECM B ACONCOURSD’ADMISSION2001OptionéconomiqueMATHÉMATIQUESIIIMercredi 2 mai 2001 de 8h 00 à 12h 00Laprésentation,lalisibilité,l’orthographe,laqualitédelarédaction,laclartéetlaprécisiondesraisonnementsentrerontpour une part importante dans l’appréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est inter-dite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.EXERCICE1 (Étude d’une suite de nombres réels)On étudie dans cet exercice la suite (S ) définie pour n≥ 1 par :nnX1 1 1 1S = 1+ + +···+ c’est à dire S = .n n2 24 9 n kk=1A cet effet, on introduit pour tout nombre entier k≥ 0 les deux intégrales suivantes :Z π Z π2 22k 2 2kI = cos (t)dt ; J = t cos (t)dt.k k0 01. Convergence de la suite (J /I ).k k(a) Établir l’inégalité suivante pour tout nombre réel t tel que 0≤ t≤ π/2 :πt≤ sin(t).2(b) Établir l’inégalité suivante pour tout nombre entier k≥ 0 :2π0≤ J ≤ (I − I ).k k k+140(c) Exprimer I en fonction de I en intégrant par parties l’intégrale I (on pourra poser u (t) = cos(t) etk+1 k k+12k+1v(t)= cos (t) dans l’intégration par parties).(d) Déduire des résultats précédents que J /I tend vers 0 quand k tend vers+∞.k k2. Convergence et limite de la suite (S ).n(a) Exprimer I en fonction de J et J en intégrant deux fois par parties l’intégrale I (k≥ 1).k k ...