ESSEC 2001 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

ESSEC. CONCOURS D’ADMISSION DE 2001´Option scientifique. MATHEMATIQUES IILe but du probl`eme est l’´etude du coefficient de corr´elation lin´eaire de deux variables al´eatoiresqu’on aborde d’abord de fa¸con g´en´erale (partie I), puis dans un cas particulier (partie II).Partie IOn consid`ere deux variables al´eatoires X et Y d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e etadmettant des esp´erances E(X) et E(Y) et des variances V(X) et V(Y) et on suppose V(X)> 0(on rappelle que V(X) = 0 si et seulement si, avec une probabilit´e ´egale a` 1, X est constante).La covariance des deux variables al´eatoires X et Y (que celles-ci soient discr`etes ou a` densit´e) estalors le nombre r´eel d´efini parCov(X,Y) =E[(X−E(X))(Y −E(Y))],ou encoreE(XY)−E(X)E(Y)1) Covariance des variables al´eatoires X et Ya) Exprimer Cov(λX+Y,λX+Y) en fonction deV(λX+Y) et en d´eduire la formule suivantepour tout nombre r´eel λ :2V(λX +Y) =λ V(X)+2λCov(X,Y)+V(Y)2b)En d´eduire que Cov(X,Y) ≤V(X)V(Y).2A quelle condition n´ecessaire et suffisante a-t-on l’´egalit´e Cov(X,Y) =V(X)V(Y)?2) Coefficient de corr´elation lin´eaire des variables al´eatoires X et YOn suppose dans cette question les variancesV(X) etV(Y) deX etY strictement positives.a) Exprimer le coefficient de corr´elation lin´eaire ρ des variables al´eatoires X et Y en fonctionde Cov(X,Y) et des ´ecarts-types σ(X) et σ(Y) des variables al´es X et Y et montrerque ρ appartient a` [−1,+1].Pr´eciser de plus a` quelle condition n´ecessaire ...