ESSEC 1999 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption scientifiqueMATHEMATIQUES ILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.Dans tout ce probl`eme, on d´esigne par:a) E un espace euclidien de dimension p> 1 dans lequel le produit scalaire de deux vecteurs x et y est not´e.b) S(E) l’espace vectoriel des endomorphismes sym´etriques de E. On rappelle qu’un endomorphisme u est ditsym´etrique s’il v´erifie = pour tout couple (x,y) de vecteurs appartenant `a E.c) T(E) le sous-ensemble de S(E) constitu´e des endomorphismes sym´etriques u dont le rang est inf´erieur ou´egal `a 1 et qui v´erifient > 0 pour tout vecteur x appartenant a` E.Dans la partie I, on d´ecrit les endomorphismes appartenant a` T(E) puis, dans la partie II, on munit l’espacevectoriel S(E) d’un produit scalaire et on ´etudie au sens de la ...