Eslsca 2006 mathematiques classe prepa hec (ece) mathematiques 2006 classe prepa hec (ece)

COLE SUP RIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉESMATHÉMATIQUES 1Łre PREUVEOPTIONS : ECONOMIQUEEXERCICE1OnnoteRel nsembledesnombresrØelset Nceluidesnombresentiersnaturels. OnconsidŁrelafonctionf :R!RdØ…nie par la formule suivante :1f(x) = (exp(x)+exp( x)):5On rappelle que 2;716e6 2;721. Etudier les variations de f, donner sa reprØsentation graphique et prØciser la nature des branches in nies decelle-ci.12. RØsoudre l’Øquation : f(x) =213. RØsoudre l’inØquation : f(x)62124. Calculer l aire A du domaine =f(x;y)2R = f(x)6y6 g25. On appelle point …xe de f tout nombre tel que f() = . On se propose d’Øtudier les points …xes de fpar le biais d une fonction auxiliaire g dØ…nie par g(x) =f(x) x.0 00(a) Donner le tableau de variation de la dØrivØe g de g aprŁs Øtude du signe de la dØrivØe seconde g .0(b) En dØduire qu’il existe un unique t2R tel que g (t) = 0, sans essayer de le calculer.(c) Encadrer t entre deux entiers consØcutifs.(d) Calculer t.0(e) Donner le tableau de signe de g puis dresser le tableau des variations de g. Montrer que g admet unminimum strictement nØgatif.(f) En dØduire que f admet exactement deux points …xes.6. On se restreindra dØsormais à l intervalle I = [0;1]. Montrer que f n admet qu un seul point …xe 2I.7. Montrer que l intervalle I est stable par f.8. On dØ nit une suite par la donnØe de u 2I et la relation de rØcurrence u =f(u ) pour tout n2N.0 n+1 nDØmontrer que les u appartiennent tous à I.n109. ...