Escp eap 2003 mathematiques iii classe prepa hec (ecs) mathematiques iii 2003 classe prepa hec (ecs)

ESCP-EAP´OPTION ECONOMIQUE´MATHEMATIQUES IIIJeudi 15 mai 2003, de 8h `a 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICESoit a, b deux entiers naturels non nuls et s leur somme.Une urne contient initialement a boules noires et b boules blanches indiscernables au toucher.On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d’une boule selon le protocole suivant :– si la boule tir´ee est blanche, elle est remise dans l’urne;– si la boule tir´ee est noire, elle est remplac´ee dans l’urne par une boule blanche prise dans une r´eserveannexe.Avant chaque tirage, l’urne contient donc toujours s boules.On d´esigne par (Ω,B,P) un espace probabilis´e qui mod´elise cette exp´erience et, pour tout entier naturel nnon nul, on note :– B l’´ev´enement « la n-i`eme boule tir´ee est blanche»;n– X la variable al´eatoire d´esignant le nombre de boules blanches tir´ees au cours des n premiers tirages;n– u l’esp´erance de la variable al´eatoire X , c’est-`a-dire u =E(X ).n n n n´1. Etude d’un ensemble de suitesSoit A ...