Escp eap 2003 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 2003 classe prepa hec (ecs)

ESCP-EAP 2003. math 1, option SDans tout le probl`eme, on consid`ere un entier naturel p sup´erieur ou ´egal a` 2. Pour tout entiernaturel q, on note R [X] (resp. C [X] l’espace vectoriel r´eel (resp. complexe) des polynˆomes a`q qcoefficients r´eels (resp. complexes) de degr´e au plus ´egal `a q. On pourra confondre polynˆome etfonction polynomiale associ´ee.On note S (resp. S ) l’espace vectoriel r´eel (resp. complexe) des suites r´eelles (resp. complexes).R CPr´eliminairep p−1On consid`ere la fonction r´eelle f qui `a tout r´eel x positif ou nul associe f(x) =x −x −1.1)a)Donner le tableau de variation de la fonction f .b)En d´eduire les r´esultats suivants :• la fonction f s’annule une seule fois en un r´eel not´e C qui est strictement sup´erieur a` 1.• pour tout r´eel x positif ou nul, le r´eel f(x) est strictement positif si et seulement si x eststrictement sup´erieur `a C.32) Dans le cas particulier ou` l’entier p est ´egal `a 4, comparer C et .2Partie IOn rappelle que sia est un nombre complexe etQ(X) un polynˆome a` coefficients complexes alorsle polynˆome Q(X) est divisible par X −a si et seulement si le complexe Q(a) est nul.1) Soit a un nombre complexe, n un entier naturel au moins ´egal a` 2 et P(X) un polynˆome `anXkcoefficients complexes de degr´e n s’´ecrivant P(X) = α X .kk=0n k−1 X Xk−i−1 i´a) Etablir l’´egalit´e : P(X)−P(a) = (X −a)Q(X) ou` Q(X) = α a X .kk=1 i=02b) En d´eduire que le polynˆome P(X)−P(a) est divisible par (X −a) ...