Escp eap 2001 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 2001 classe prepa hec (ecs)

E.S.C.P. - E.A.P. 2001, math 1, option scientifique.L’objetduprobl`emeestl’´etude,danscertainscas,dessous-espacesstablesparunendomorphismed’un espace vectoriel.Dans tout le probl`eme, on consid`ere un entier natureln non nul et on noteE leR-espace vectorielnR . On note 0 le vecteur nul de E et Id l’endomorphisme identit´e de E. On dira qu’un sous-E Eespace vectoriel F de E est stable par un endomorphisme f de E (ou que f laisse stable F) sil’inclusion f(F)⊂F est v´erifi´ee.On observera que le sous-espace vectoriel r´eduit a` {0 } et E lui-mˆeme sont stables par toutEendomorphisme de E.On noteR[X] l’espace vectoriel des polynomeˆ s a` coefficients r´eels et, pour tout entier naturel k,on noteR [X] le sous-espace vectoriel form´e par les ´el´ements deR[X] qui sont de degr´e inf´erieurkou ´egal `a k.0 1 2 3Si f est un endomorphisme de E on pose f =Id , f =f, f =f ◦f, f =f ◦f ◦f, etc.EnXkSi f est un endomorphisme de E et si P = a X est un ´el´ement deR[X], on rappelle qu’onkk=0nXknote P(f) l’endomorphisme de E ´egal a` P(f) = a f .kk=0Partie I : Pr´eliminairesSoit f un endomorphisme de E.1) Soit P un ´el´ement deR[X]. Montrer que le sous-espace vectoriel KerP(f) est stable par f.2)a)Montrer que les droites de E stables par f sont exactement celles qui sont engendr´ees parun vecteur propre de l’endomorphisme f.3 3b)On note B = (e ,e ,e ) la base canonique deR et on consid`ere l’endomorphisme g deR1 2 3dont la matrice dans la base B est 1 1 0 B = ...