Escp eap 1999 mathematiques iii classe prepa hec (ecs) mathematiques iii 1999 classe prepa hec (ecs)

6E.S.C.Paris 1999Option EconomiqueMATHEMATIQUES IIIEXERCICE ISoitM (R) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre 2 muni de sa structure d’espace vectoriel et soit2J la matrice 0 1J =1 0On consid`ere l’application S de M (R) dans lui-mˆeme qui associe a` tout ´el´ement M de M (R)2 2l’´el´ement S(M) =JMJ.1. a) Montrer que l’application S ainsi d´efinie est un automorphisme de l’espace vectorielM (R). Quel est l’automorphisme r´eciproque de S?2b) Montrer que si M et N sont deux ´el´ements quelconques de M (R), on a S(MN) =2S(M)S(N)2. On consid`ere les ´el´ements 1 0 0 1 1 0 0 1I = J = K = L =0 1 1 0 0 −1 −1 0Montrer que (I,J,K,L) forme une base de l’espace vectorielM (R).23. Montrer que I, J, K, L sont des vecteurs propres de S. D´eterminer la matrice repr´esentantl’automorphisme S dans la base (I,J,K,L).4. Soit F l’ensemble des ´el´ements M de M (R) v´erifiant S(M) = M et soit G l’ensemble des2´el´ements M deM (R)(R) V´erifiant S(M) =−M. Montrer queF etG sont des sous-espaces2vectoriels deM (R) et que tout ´el´ement M deM (R) peut s’´ecrire d’une mani`ere et d’une2 2seule sous la forme M =M +M avec M ∈F et M ∈G .+ − + − 3 −1A titre d’exemple, d´eterminer les matrices A et A lorsque A = .+ − 1 −25. a) Montrer que le produit de deux matrices appartenant `a F appartient aussi `a F. Quepeut-on dire du produit de deux ´el´ements deG ?b) Plus pr´ecis´ement, pour deux matrices M et N deM (R), exprimer (MN) et (MN)2 + −en fonction ...