Epita 2005 epreuve optionnelle classe prepa mp epreuve optionnelle 2005 classe prepa mp

E.P.I.T.A. - Concours 2005Option - durée 2h” ”Dans ce problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct H0; i, jL.On considère dans ce contexte :- le cercle ! centré en WH8, 0L et de rayon R = 8.- la droite " d'équation x = 2.- une droite " passant par l'origine, d'équation y = t x où t désigne un paramètre réel.tDans la suite, on représentera sur une même figure les résultats obtenus au fil des questions.Cette figure fera apparaître seulement le demi-plan x ¥ 0 et elle sera construite avec soin surune feuille séparée en choisissant (approximativement) pour unité 1 cm.1°) Introductiona) Déterminer une équation cartésienne du cercle !.b) Préciser les coordonnées des points d'intersection de ! et ". On notera A et B ces deux points en supposant que A est celui d'ordonnée positive. Représenter sur la figure le cercle !, la droite " et les points A et B.c) Déterminer les coordonnées de PHtL, point d'intersection de " et de " .t Déterminer de QHtL, point (distinct de O) de ! et de "td) En déduire du milieu du segment @PHtL, QHtLD. Déterminer les valeurs du paramètre t pour lesquelles ce milieu est égal à A ou B.On se propose maintenant d'étudier la courbe paramétrée G : t ö MHtL définie par :2 2t + 9 tHt + 9LxHtL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ; yHtL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ .2 2t + 1 t + 12°) Etude des variations des fonctions x et ya) Comparer xH-tL et xHtL, yH-tL et yHtL. Qu'en déduit-on géométriquement pour la courbe G ?b) ...