Epita 2004 epreuve commune classe prepa mp epreuve commune 2004 classe prepa mp

E.P.I.T.A.Concours 2004 – Mathématiques (3 heures)__________________________________________Dans ce problème, on étudie les équations intégrales de Volterra, qui s'écrivent sous la formesuivante où f : [0, 1] → R et k : [0, 1] x [0, 1] → R désignent deux fonctions continues données,et où u : [0, 1] → R est une fonction continue, inconnue ici, astreinte à vérifier pour 0 ≤ x ≤ 1 :x(1) ux()−=k(x,t)u(td)t f(x).∫0Les trois premières questions sont consacrées à des cas particuliers de cette équation, tandis quela question 4 propose l'étude générale de l'existence et de l'unicité d'une solution u.x1°) On pose ux()= 1, puis ux()=−(xt)u(t)dt pour 0 ≤ x ≤ 1 et pour n ∈ N.0 nn+1∫0a) Calculer u (x), u (x), u (x), puis par récurrence u (x).1 2 3 nb) Calculer la somme U(x) de la série u (x) + u (x) + … + u (x) + …0 1 nnc) V(xu (x) – u (x) + … +(–1) u (x) + …0 1 nd) Vérifier que U et V sont respectivement solutions des équations suivantes :x(2) .ux()−−(x t)u(t)dt=1∫0x(3) .ux()(t x)u(t)dt=1∫0x2°) On pose ux()=x, puis ux()=−(xt)u(t)dt pour 0 ≤ x ≤ 1 et pour n ∈ N.0 nn+1∫0a) Calculer la somme U(x) de la série u (x) + u (x) + … + u (x) + …0 1 nnb) V(xu (x) – u (x) + … +(–1) u (x) + …0 1 nc) Vérifier que U et Vx(4) ux()−−(x t)u(t)dt=x.∫0x(5) ux()(t x)u(t)dt=x.∫0x3°) On pose ux()=f()x , puis ux()= λu(t)dt pour 0 ≤ x ≤ 1 et pour n ∈ N (où λ réel donné).0 nn+1∫0n+1a) Vérifier par récurrence l'égalité suivante pour une fonction g ...