ENSAE 2001 mathematiques classe prepa b/l

6ENSAE 2001, option ´economie. dur´ee 4 heuresPROBLEME 1On consid`ere les fonctions d´efinies parZ Zx xt tdt√ √f(t) = et F(x) = f(t)dt =3 33 31 1t −1 t −1x x√ √3 3ou` la fonction t7→ t est d´efinie surR (par exemple −8 =−2).L’objet du probl`eme est l’´etude de la fonction F. On note C sa courbe repr´esentative.1) Domaine de d´efinition :´a) Etudier la convergence des int´egrales suivantes (qu’on ne cherchera pas `a calculer) :Z Z Z1 +∞ 00I = f(t)dt, J = f(t)dt, J = f(t)dt0 2 −∞b)Justifier que F est d´efinie sur ]−∞,0[.c) Montrer qu’on peut prolonger la d´efinition de F `a ]0,+∞[ en posant Z Z1 xF(x) = f(t)dt+ f(t)dt pour x> 0 et x = 11 1xF(1) = 0´2) Etude aux bornes :∗a) D´eterminer les limites de la fonction F aux bornes de son domaine de d´efinition D =R .b)Montrer que, pour tout x< 0, on a :Z Z0 x 1F(x)−x = f(t)dt+ g(t)dt, ou`g(t) = −111 1 30x 1− 3tZ 0´c) Etudier la convergence de l’int´egrale K = g(t)dt−∞En d´eduire l’allure de la courbe C de F pour x→−∞.d)Faire une ´etude analogue en +∞.3) Variations :0a) Justifier que la fonctionF est d´erivable surD =]−∞,0[∪]0,1[∪]1,+∞[. Calculer sa d´eriv´eeet ´etudier son signe.1 0b)Montrer que F est de classe C en 1 et v´erifier qu’en ce point F s’annule sans changer designe (on dit que C pr´esente un point d’inflexion en 1).c) Calculer la d´eriv´ee seconde de F et ´etudier son signe.d)Rassembler ces r´esultats dans un tableau de variations de la fonction F.4) Courbe : Dessiner l’allure de ...