ENSAE 2000 mathematiques classe prepa b/l

ENSAECONCOURS D’ENTREE 2000MATHEMATIQUES1Łre Øpreuve (option Øconomique)La clartØ et la rigueur des raisonnements, ainsi que la qualitØ de la rØdaction (prØsentation, lisibilitØ, orthographe) serontdes ØlØments importants d apprØciation des copies.Il est notamment demandØ aux candidats d’encadrer les rØsultats obtenus et de faire appara tre clairement les thØorŁmesutilisØs et les points clØs de leurs rØponses. En particulier pour les questions dont l ØnoncØ fournit la rØponse, le dØtail descalculs ou des justi…cations doit …gurer explicitement sur la copie.PROBLEMEIM (R) dØsigne l’espace vectoriel des matrices carrØes de taille 2 à coe¢ cients rØels.n1. (a) Montrer que l ensemble a b 2C =fM(a;b) = ; (a;b)2R gb aest un sous-espace vectoriel deM (R):2PrØciser sa dimension et en donner une base.On considŁre l applicationC ! C : a bz =a+ib 7! M(a;b) =b aoø a et b dØsigne respectivement les parties rØelle et imaginaire du nombre complexe z:0(b) Montrer que, pour tous nombres complexes z et z deC; on a0 0 ( z +z ) = ( z)+ ( z )0 0 ( zz ) = ( z) ( z )En dØduire quep p(8z 2C)(8p2N) (z ) = ( ( z))(c) L application est-elle un isomorphisme d’espaces vectoriels ?2. (a) Soit 2 [0;2[ et A la matrice cos sinA =sin coskPour k2N; calculer A : Le rØsultat est-il encore valide pour k2Z ?(b) Soit p2N : DØterminer une matrice M 2M (R) telle que2 2 0pM =J; oø J =0 21/33. On considŁre apl plicationR[X] ! R[X]f : 2 00 0P(X) 7! ...