ENSAE 1999 mathematiques classe prepa b/l

E.N.S.A.E. 1999. Concours “´economie”PROBLEME 1Noration:Pourdeuxentiersnaturelspetq≥p,onnote[p,q]] = [p,q]∩N,c’est-`a-direl’ensembledes entiers naturels compris, au sens large, entre p et q.∗1)a)Pour tout entier k∈N , ´etablir la formulekXj kC = 2 (1)kj=02N+1Xj∗En d´eduire la valeur, pour N ∈N , de C .2N+1j=N+1rXn−1 nb)Pour tous n∈N, n≥ 2, et r∈N, montrer que : C = C (2)n+rn−1+jj=02)a)Soient n et p deux entiers v´erifiant : 1≤p≤n. Rappeler la valeur du cardinal de l’ensembleE des suites strictement croissantes `a p ´el´ements dans l’ensemble I = [[1,n]] :E ={(q ,q ,...,q )/1≤q