EML 2004 mathematiques classe prepa hec (ece)

MATHEMATIQUES E.M.LYON Voie Eco 2004PREMIER EXERCICEOn consid`ere l’application f :R→R d´efinie, pour tout t∈R par :t2ef (t) =√21+t1. Dresser le tableau de variation de f surR comprenant les limites de f en−∞ et en +∞.√t 2 2´2. a) Etablir, pour tout t∈ [0,+∞[ : 2e −t−t > 0 et 1+t≥ 1+tb) En d´eduire:∀t∈ [0,+∞[, f (t)>t3. On consid`ere la suite r´eelle (u ) d´efinie par u = 1 et, pour tout n∈N :n 0n≥0u =f (u )n+1 n´a) Etablir que u tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞.n6´b) Ecrire un programme en Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier n tel que u > 10n4. On consid`ere l’application G :R→R d´efinie, pour tout x∈R par :Z +xG(x) = f (t)dt−xa) Montrer que G est impaire.1 0b) Montrer que G est de classe C surR et calculer G (x) pour tout x∈R.c) Quelle est la limite de G(x) lorsque x tend vers +∞ ?´d) Etudier le sens de variation de G et dresser le tableau de variation de G surR comprenant leslimites de G en−∞ et en +∞.`DEUXIEME EXERCICEOn note M (R) l’espace vectoriel r´eel des matrices carr´ees d’ordre trois a` ´el´ements r´eels, I la matrice3identit´e deM (R), 0 la matrice nulle deM (R).3 3On consid`ere, pour toute matrice A deM (R), les ensembles E (A) et E (A) suivants :3 1 2E (A) = {M∈M (R);AM =M}1 3 2E (A) = M∈M (R);A M =AM2 3Partie I1. Montrer que E (A) est un sous-espace vectoriel deM (R)1 3On admettra que E (A) est aussi un sous-espace vectoriel deM (R)2 3´2. a) Etablir : E (A)⊂E (A)1 2b) Montrer que, si A est inversible, ...