EML 2003 mathematiques classe prepa hec (ece)

\\\\\\\\\\\\\\\Programme ESC de l’E.M.Lyon Concours d’entrée 2003 EXERCICE 1 On note M ( ) l’ensemble des matrices réelles d’ordre 3 et on considère les matrices suivantes de 3M ( ) : 3100 111I= 0 1 0 et A= 1 0 0 . 001 100Première partie 3 31. Calculer A² et A , puis vérifier : A =A²+2A. 2. Montrer que la famille (A, A²) est libre dans M ( ) . 33. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, il existe un couple unique (a ,b ) de n nnnombres réels tel que : A =a A+b A², et exprimer a et b en fonction de a et b . n n n+1 n+1 n n4. Ecrire un programme, en Pascal, qui calcule et affiche a et b pour un entier n donné supérieur n nou égal à 1. 5. a. Montrer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : a =a +2a . n+2 n+1 n b. En déduire a et b en fonction de n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1. n nn c. Donner l’expression de A en fonction de A, A², n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1. Seconde partie 3 3On note f l’endomorphisme de , dont la matrice, relativement à la base canonique (e , e , e ) de , 1 2 3est A. 1. Déterminer une base de Im(f) et donner la dimension de Im(f). 2. a. Est-ce que f est diagonalisable ? b. Est-ce que f est bijectif ? 3. Déterminer les valeurs propres de f, et donner, pour chaque sous-espace propre de f, une base de ce sous-espace propre. 4. Déterminer une matrice diagonale D, dont les termes diagonaux sont dans l’ordre réel croissant, et une ...