EML 2000 mathematiques classe prepa hec (ecs)

Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 2000MATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option scientifique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Probl`eme 1Notations:– n d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal a` 3.– M (R) est l’ensemble des matrices carr´ees d’ordren `a coefficients r´eels.I d´esigne la matrice identit´en ntde M (R). La transpos´ee d’une matrice M est not´ee M.nn– R est muni du produit scalaire canonique not´e < , > d´efini par: si x = (x ,x ,...,x ) et y =1 2 nnP(y ,y ,...,y ) alors, = x y .1 2 n k kk=1    x y1 1   . .. .En notant les matrices unicolonnes X = et Y = et en confondant les matrices   . .x yn ntd’ordre 1 et les scalaires, on a alors= XY. La norme associ´ee `a ce produit scalaire est not´eek.k.n– B = (e ,e ,...,e ) d´esigne la base canonique deR .1 2 nnOn rappelle que la matrice de passage P d’une base orthonormale deR a` une autre base orthonormalen t −1deR v´erifie P =P .Les parties I et II sont ind´ependantes.Partie I.1. On consid`ere les matrices suivantes de M (R):3√ √   5 2 2 3 1 2√ √1   √S = 2 5 2 , P = − 3 1 2√62 2 5 0 −2 2(a) Justifier que S est diagonalisable dans M (R).3t(b) Montrer qu’il existe une matrice diagonale D de M (R) telle que S =PD P.3 2 1 0 2. On consid`ere la matrice M = 0 2 1 de M (R).31 0 23(a) V´erifier ...