EDHEC 2001 mathematiques classe prepa hec (ece)

EDHECSchool of managementECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORDConcours d’admission sur classes prØparatoiresMATHEMATIQUESOption ØconomiqueAnnØe 2001La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : seule ul tilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.L utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectronique est interdite.Exercice 1E dØsigne un espace vectoriel rØel surR; rapportØ à sa baseB = (e ;e ;e ).1 2 3On dØsigne par a un rØel non nul et on considŁre el ndomorphisme f de E, dØ ni par :af (e ) = 0 f (e ) =f (e ) =ae +e aea 1 a 2 a 3 1 2 321. (a) Ecrire la matrice A de f relativement à la base B et calculer A .a a a(b) Montrer que 0 est la seule valeur propre de A .a(c) A est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ?a2. On pose u =ae +e ae .1 1 2 30(a) Montrer queB = (u ;e ;e ) est une base de E1 2 3 0 10 0 10 @ A(b) VØri…er que la matrice de f relativement à la baseB est K = 0 0 0 .a0 0 0Dans la suite, on cherche à caractØriser les endomorphismes g de E tels que gg =f .a03. On suppose qu un tel endomorphisme g existe et on note M sa matrice dansB .2(a) Expliquer pourquoi M =K puis montrer que MK =KM.1/30 10 x y@ A(b) DØduire de ces deux relations ...