Ecrit Probabilites Capes de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Bac+5
Ecrit Probabilites Capes de Mathematiques 2008 Probleme 3 : devoir a la maison. 22/10/2007. Objectifs et notations. Le but du probleme est d'etudier un modele simple d'evolution aleatoire de population appele modele de Galton Watson. Voici le modele : 1. La generation numero 0 comporte un individu (on note D0 = 1 son cardinal). Cet indi- vidu meurt apres avoir donne naissance a un nombre aleatoire d'enfants, eventuellement nul, decrit par la loi d'une variable aleatoire W . La premiere generation comporte alors D1 = W individus. 2. Si D1 6= 0, alors chaque individu de la premiere generation se comporte comme l'indi- vidu de la generation 0 : il meurt apres avoir donne naissance a un nombre aleatoire d'enfants, eventuellement nul, decrit par la loi d'une variable aleatoire W . On note D2 le cardinal de la deuxieme generation. Si D2 > 0, on reprend le procede pour obtenir la troisieme generation, et ainsi de suite. On note Dn le cardinal de la n-ieme generation. 3. On suppose que les nombres d'enfants des differents individus des differentes generations sont des variables aleatoires independantes identiquement distribuees de meme loi que W donnant le nombre d'enfants d'un individu. On note ?k ? N, pk = P(W = k). Formellement, on peut representer le modele comme suit : on considere une suite double (Xi,j)i,j≥1 de variables aleatoires independantes qui ont chacune la meme loi que W et sont telles que D0 est

generation numero

?z ?

modele

modele de galton watson

indi- vidu de la generation

differents individus des differentes generations

lemme de cesaro

temps d'extinction de la descendance de d0

Sujets

Modèle

Lemme de Cesàro

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Extrait

EcritProbabilite´s

Proble`me3:devoira`lamaison. 22/10/2007.

CapesdeMathe´matiques2008

Objectifs et notations. Lebutduproble`meestd’e´tudierunmode`lesimpled’´evolutionale´atoiredepopulation appel´emode`ledeGaltonWatson.Voicilemod`ele: 1.Lage´ne´rationnume´ro0comporteunindividu(onnoteD0= 1 son cardinal). Cet indi-vidumeurtapre`savoirdonn´enaissancea`unnombreale´atoired’enfants,´eventuellement nul,de´critparlaloid’unevariableal´eatoireWsrolaetropmoerationcereg´en´aLrpme`i. D1=Windividus. 2. SiD16i-nd’ig´en`eretion´erapmroesocmmleetocremielapidudndivuqiecsahlaro=,0 vidudelag´ene´ration0:ilmeurtapr`esavoirdonne´naissance`aunnombreale´atoire d’enfants,´eventuellementnul,d´ecritparlaloid’unevariableale´atoireW. On note D2iS.nleedaledxuacdrnilan´eratioi`emeg´eD2>rno,erpe0d´´eoueplendocprr obtenirlatroisie`mege´ne´ration,etainsidesuite.OnnoteDnle cardinal de lan-emi`e g´ene´ration. 3.Onsupposequelesnombresd’enfantsdesdiﬀe´rentsindividusdesdiﬀe´rentesge´ne´rations sontdesvariablesal´eatoiresinde´pendantesidentiquementdistribue´esdemˆemeloique Wdonnant le nombre d’enfants d’un individu. On note∀k∈N, pk=P(W=k). Formellement,onpeutrepr´esenterlemode`lecommesuit:onconside`reunesuitedouble (Xi,j)i,j≥1leioˆmmeuqedveariablesal´eatoiisere´dndnepetnauisqtconcuhalaneWet sont telles queD0nepe´dnisedetnad(estXi,j)i,j≥1usaletirrucecnepars´errdn´iOenﬁlo.ta (Dn)n≥1par +∞ X ∀n≥0D= n+11{i≤Dn}Xn,i. i=1 On suppose que 0< p0<1, et on remarque que +∞ X pk= 1. k=0 On note, pour toutn∈N,un=P(Dnroapbibat´liueeqall)0=nationsoitvide.-`imegee´´nre On dit qu’il y aextinctionsi et seulement si il existen∈Ntel queDn=0e´netv´.eCneemt estnot´eExt.Sil’ensemble{k∈N:Dk= 0}est non vide, on pose L= inf{k∈N:Dk= 0}, et on poseL= +∞at´ereoiabrialleon.naLavisLdsrusnaa`,elavN∪ {+∞},ereleestnrpe´ temps d’extinction de la descendance deD0.

I.Premiersr´esultatssurlemod`eledeGaltonWatson. 1. Montrerque s’il existen∈Ntel queDn= 0, alors∀k≥0, Dn+k= 0. 2.End´eduirequelasuite(un)n∈Nconverge vers une limite`∈[0,1]. 3. MontrerquePlim(Ext) =un=`. n→+∞

4. Montrerque{Dn>0}={L > n}irdu´endurpoueeqottueten∈N,P(L > n) = 1−un.

EcritProbabilit´es

CapesdeMathe´matiques2008

II.Fonctionsge´ne´ratricesetmod`eledeGaltonWatson. Pourtoutevariableale´atoireXansdsva`aurleNec:atrin´erng´ectioserenofanocn`dis,o +∞ X X k ∀z∈[0,1], gX(z) =E(z) =P(X= 0) +P(X=k)z . k=1 1. MontrerquegXnituneapplicatio[edn0´dﬁe,1] dans [0,1] et quegX(1) = 1. 2. Donnerune relation simple entreP(X= 0) etgX(0). 3. Montrerque siXetYsuvral`eaansdNsoinntrssetnola,pe´dadne ∀z∈[0,1], gX+Y(z) =gX(z)gY(z). 4. Soient(Xnuiesun)´laselbairavedetepenind´ireseatoleioˆmmeseedadtndnon´ge´e´neee´r `avaleursdansNetTsnauenavirbaellae´atoire`avaleursdN´dniesedtnadnepe pr´ece´dentes.Ond´eﬁnit n X ∗ S0et= 0∀n∈N, Sn=Xj, j=1 puisS(ω) =ST(ω)(ω) pour toutω∈Ω. Montrer que sigTetgXofseltnengise´dnctions g´en´eratricesdeTetX1edea,olare´cirtontieng´larsncfoSeeapndot´sner ∀z∈[0,1], gS(z) =gT◦gX(z). Indication.Pour calculergSounp,oseltelavsruesp´erancesuivanrrdae´ocpmsore’l prises parT:  !! +∞ X S S gS(z) =E(z) =Ez1{T=k}. k=0 5.Revenonsaumod`eledeGaltonWatson.Onnoteg´engern´onafioctlirtaedecWet, pour toutn∈N, on notegndecirtareno´gnee´alofcnitDnqeeutnoM.r´arrprencreurec gnest lan´er´meiti-e`eedeg`tseridaeuqe,c’g0= Id,g1=g,g2=g◦g,g3=g◦g◦g. . . Ende´duireque,pourtoutn∈N,gn+1=gn◦g=g◦gn. 6. Montrerque la suite (un)n∈Nctseacarert´´eisarep  u0= 0 ∀n≥0, un+1=g(un). 7. Montrerquegest continue sur [0,miteequelalite]e1irdu´end`de la suite (un)n∈N satisfaitg(`) =`.

III. Un premier exemple avec0ou1enfant Onsupposequ’unindividunepeutavoirque0ou1enfant,c’est-a`-direque p0+p1= 1. On suppose de plusp0>0. 1. Montrerque pour toutn∈N,Dnne peut prendre que les valeurs 0 ou 1. 2. Calculerget montrer que ∀n∈N, un+1=p0+p1un. 3. ExprimerP(Dn>0) en fonction denetp1rilelamietdne´ud,e(teuiaseleditun)n∈N. 4.De´terminerlaloietdonnerl’espe´rancedeL.

EcritProbabilite´s

CapesdeMath´ematiques2008

IV. Etude de la suite(un)n∈Ndanse´gsacel.lare´n Onsupposedore´navantquep0>0 etp0+p1<1. On suppose qu’il existeα >1 tel que +∞ X k lase´riepkαconverge. k=0 0 1. MontrerqueWni´tetsuetqeeblraegEW=g(1). ∞ 2. Montrerqueg´dinﬁeenutlppaaticnioCde [0,adsnul-iˆmme.e1] 0 3. Montrerque sur [0,1],g≥0 et quegest strictement convexe sur [0,1]. 0 4. Onsuppose icig(1)≤1. (a)Donnerl’´equationdelatangente`alacourberepr´esentativedegau point d’abs-cisse1.Enutilisantlaconvexit´edeg, montrer que 1 est l’unique point ﬁxe deg dans [0,1]. (b)End´eduirequesiEW≤1, alorsP(Ext) = 1. 0 5. Onsuppose ici queg(1)>1. (a) Pourz∈[0,1], on poseh(z) =g(z)−z. Montrer qu’il existez0∈]0,1[ tel que pour toutz∈[z0,1[,h(z)<0. (b)Ende´duirequegadmet un point ﬁxes∈]0,1[. (c) Montrerquegadmet exactement deux points ﬁxes 1 ets∈]0,1[ dans [0,1]. (d)Montrerparre´currencesurnque pour toutn∈N,un≤s. (e) Montrerque siEW >1, alorsP(Ext) =s <1.

V.Unlemmepourlesvariablesal´eatoiresentie`res. SoitXvenutoirl´eableaariasnsradlaue`evaN. On souhaite montrer queXadmet une esp´erancesietseulementsilas´eriedetermege´n´eral(P(X > n))n∈Nconverge, et que dans ce cas +∞ X EX=P(X > n). n=0 1. Montrerque pour toutN≥1,

N N−1 X X kP(X=k) =P(X > k)−NP(X > N). k=1k=0

2. Onsuppose d’abord queXeuqe´saleireetede,ncesc’`at-ir-damdtenueepse´arrme g´en´eral(nP(X=n))n∈Nconverge. (a) Montrerque pour toutN≥1,

+∞ X NP(X > N)≤kP(X=k). k=N+1

(b)End´eduirequeNP(X > N) tend vers 0 quandNtend vers +∞eire´saleuqte, determeg´ene´ral(P(X > n))n∈Nconverge. 3. Soit(xn)n∈Nmeer´eelspositifsteleluqlesae´irdeteneuitsu´eedoicrnassedetbmonrser ge´n´eral(xn)n∈Nconverge. On souhaite montrer quexn=o(1/n).

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