Ecricome 2007 mathematiques classe prepa hec (s)

1. EXERCICE.1. A l’aide de dØveloppements limitØs usuels que l’on rappellera clairement,montrer que lorsque x est au voisinage de 0 on ax 2 2ln(2 e ) = x x +o(x ):1. Montrer que pour tout entier k supØrieur ou Øgal à 2, on a :1=k2 e 2]0;1[:1=k2. EndØduirelesignede ln(2 e ), pourtoutentierk supØrieurouØgalà 2.1=k3. Quelle est la nature de la sØrie de terme gØnØral ln(2 e ) ?4. Pour n entier supØrieur ou Øgal à 2, on posenX1=kV = ln(2 e ) et u = expV :n n nk=2DØterminerlim V et lim u :n nn!+1 n!+11. Montrer que nX 11=kln(nu ) = ln(2 e ) ln(1 ) :nkk=21=k2. DØterminer un Øquivalent, quand k tend vers +1, de ln(2 e )1ln(1 ):kK3. En dØduire que u est Øquivalent, quand n tend vers +1, à avecnnK > 0.Quelle est la nature de la sØrie de terme gØnØral u ?n2. On posenXkS = ( 1) u :n kk=21. Etudier le sens de variations de la suite (u ) .n n>22. Montrer que les suites (S ) et (S ) sont deux suites adja-2n n>1 2n+1 n>1centes.n3. En dØduire la nature de la sØrie de terme gØnØral ( 1) u .n2. EXERCICE.M (R) dØsigne l’ensemble des matrices carrØes d’ordre n> 2, à coe¢ cients rØels.nPour tout ØlØmentA = (a ) deM (R), on appelle “trace deA”, et on noteij 16i;j6n nTr(A), la somme des ØlØments diagonaux, c’est-à-dire :nXTr(A) = a :iii=1On admet que Tr est une application linØaire deM (R) dansR telle quen8A2M (R); 8B 2M (R); Tr(AB) =Tr(BA):n ntOn note A la transposØe de la matrice A.1. Soit ’ l’application dØ…nie surM (R)M (R) par :n nt t ...