Ecricome 2005 mathematiques classe prepa hec (s)

Ecricome 2005, option S. (avec programme pascal modifi´e)EXERCICE 13L’espaceR est muni de son produit scalaire usuel. Trois r´eels a, b, c ´etant donn´es, on pose : a c b M(a,b,c) = c a+b cb c a1) D´eterminer trois matrices I, J, K dont les coefficients ne d´ependent pas de a, b, c, tellesque :M(a,b,c) =aI +bJ +cK2 2 3 2Calculer J , K et K . D´eterminer une relation entre I, J et K , ainsi qu’un polynˆomeannulateur de K.Quelles sont les valeurs propres possibles de K ?t2) Justifier qu’il existe une matrice P ∈ M (R) inversible, telle que D = ( P)KP soit une3matrice diagonale.D´eterminer P et D v´erifiant les conditions pr´ec´edentes et telles que d < d < d (ou`1,1 2,2 3,3d est le coefficient d’indices i,j de D.)i,j2 t3) En ´ecrivant M =M(a,b,c) en fonction de I, K, K , d´eterminer la matrice ( P)MP.En d´eduire les valeurs propres de la matrice M.Discutersuivantlesvaleursdea,b,clenombredevaleurspropresdistinctesdeM etpr´eciserdans chaque cas les sous-espaces propres associ´es.√ √4) On suppose dans cette question a = 4, b = 2, c = 2 et on note M =M(4,2, 2).   0x x0 0 t   On pose X = y = ( P)X, ou` X = y0z z3a) On d´efinit la fonction f surR \{(0,0,0)} par :t( X)MXf(x,y,z) =2||X||2 0 2i. Montrer que||X|| =||X || puis que :02 02 024x +2y +8zf(x,y,z) =02 02 02x +y +z3ii. Montrer que 2 et 8 sont respectivement les minimum et maximum de f surR \(0,0,0)et d´eterminer les points en lesquels ils sont atteints.2b)On cherche d´esormais `a ...