Ecricome 2000 mathematiques classe prepa hec (eco)

ECRICOMEBanque d Øpreuves communesaux concours des Ecolesesc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouseCONCOURS D’ADMISSIONoption ØconomiqueMATHÉMATIQUESAnnØe 2000Aucun instrument de calcul n est autorisØ. document n est autorisØ.L ØnoncØ comporte 4 pagesLes candidats sont invitØs à soigner la prØsentation de leur copie, à mettre en Øvidence les principauxrØsultats, à respecter les notations de l’ØnoncØ, et à donner des dØmonstrations complŁtes (mais brŁves)de leurs a¢ rmations.1/4Exercice 1Soit X une variable alØatoire à densitØ dØ…nie sur un espace probabilisØ. On note f une densitØ de X, F safonction de rØpartition. On fait les trois hypothŁses suivantes:i) Si t appartient à ] 1 ;0[, f(t) = 0.ii) Si t appartient à [0;+1[, f(t) est positif ou nul.iii) f est continue sur ]0;+1[.11. Montrer que l Øquation F(x) = admet une solution unique sur ]0;+1[.2Cet unique rØel, que l on notera m, sera appelØ mØdiane de X.2. Dans cette question, on suppose que X suit une loi exponentielle de paramŁtre 1.Montrer que X satisfait aux hypothŁses du dØbut de l exercice et dØterminer la mØdiane de X.t3. On suppose dans cette question que la densitØ de X est donnØe sur [0;+1[ par f(t) =t e et sur ] 1 ;0[par f(t) = 0.(a) VØri…er que f satisfait aux hypothŁses du dØbut de l exercice.(b) DØterminer la fonction de rØpartition F de X.(c) Montrer, sans chercher à la calculer, que la mØdiane m de X vØri…e 16m6 2.2(On donne 6