E3A mathematiques 3 1999 pc classe prepa pc

concours ESTP-ENSAM-ECRIN-ARCHIMEDEEpreuve de MATHEMATIQUES 3Filiere PCduree 4 heuresLes deux problemes sont independants.Probleme A2Si (p; q)2 (N ) ; M (R) designe le R espace vectoriel des matrices a p lignes et q colonnes, a coe cien tsp;qreels etM (R) =M (R) :p p;pUn element deM (R) est note (a ) ; 1 i p ; 1 j q:p;q i;jpUn vecteur de R ; rapporte a sa base canonique, et sa matrice dansM (R) sont notes par la m^eme lettre.p;1Si N est une norme surM (R) ; la suite (A ) ; ou n2 N ; d’elements deM (R) admet une limite B dansp;q n p;qnM (R) si et seulement si la suite reelle (N (A B)) a pour limite 0p;q n nOn note :lim A = B , lim N (A B) = 0n nn!+1 n!+1Les coe cien ts de la matrice limite B sont les limites des coe cien ts de la matrice A :nPartie I+On admettra que l’application, noteekk ; deM (R) dans R de nie par :p;qqX8A2M (R) ; kAk = max ja jp;q i;j1ipj=1est une norme surM (R) ; adoptee dans la suite du probleme et telle que ,8r2 N ( avec un abus d’ecriturep;qevident ) :8A2M (R) ; 8B2M (R) ; kABkkAkkBkp;q q;r1) Si A2M (R) , on note ( ) les valeurs propres de A dans C ; et (A) = max jj :p i i1ip1ipMontrer que : k k 8i2 [1; p] ; 8k2 N ; jj AiNEn deduire que si A est diagonalisable alors :klim A = 0 , (A) < 1k!+1( 0 designe la matrice nulle deM (R) )p2) A2M (R) ; b2M (R) ; A inversible.p p;1On considere une methode de resolution approchee de l’equation Ax = b , ou b est donne ...