Deug MIAS 2eme annee Septembre Duree 2H tous documents interdits

Niveau: Supérieur
PARTIEL D'ANALYSE Deug MIAS 2eme annee Septembre 2004 Duree 2H. tous documents interdits. 1. Soit u : R ?? R une fonction continue. On pose v(x) = x2∫ x+1 u(t) dt , pour x ? R . a) Montrer que v s'annule en au moins deux points de R (2p) b) Donner l'exemple d'une fonction u telle que v s'annule en au plus deux points de R. (2p) c) Calculer v?(x) pour tout x ? R. (2p) 2. On pose u0 = pi et on definit par recurrence un = cosun?1 n , pour n ≥ 1 . Etudier la convergence de la serie ∞∑ n=1 un. (3p) 3. Pour x > 0, on pose g(x) = ∞∑ n=1 e?nx n . a) Calculer g?(x) pour x > 0. (1p pour le resultat + 2p pour la demonstration) b) Calculer lim x?0+ g(x). (2p) c) Soit G(x) = ∞∑ n=1 e?nx n + 1 . Montrer que G satisfait une equation differentielle du premier ordre, qu'on ecrira sans la resoudre.

• serie geometrique de raison e?x


• ?nx


• serie harmonique


• racines reelles distinctes


• e?x


• convergence de la serie ∞∑


• calculer v?