Corrige GEIPI ENI Mathematiques 2007

Le sujet 2 comporte 7 pages num¶erot¶ees de 1 µa 7EXERCICE I - (10 points)Donner les r¶eponses des questions I-1-, I-2- et I-3- dans le cadre pr¶evu ci-dessousxSoit la fonction f d¶eflnie sur R par : f(x) = (1 ¡ x)e .~ ~On noteC la courbe repr¶esentative de f dans le plan rapport¶e µa un repµere orthonorm¶e (O; i;j).fI-1-a- Donner les limites de f aux bornes de son domaine de d¶eflnition.I-1-b- En d¶eduire que f admet une asymptote ¢ au voisinage de ¡1 dont on donnera une¶equation.0 0I-2-a- D¶eterminer f (x) ouµ f est la d¶eriv¶ee de f.I-2-b- Compl¶eter le tableau des variations de f.I-3-a- D¶eterminer une ¶equation de la tangente T au point A d’abscisse 1 de la courbeC et une1 f¶equation de la tangente T au point B d’abscisse ¡1.¡1I-3-b- Expliquer pourquoi l’on peut a–rmer que les tangentes T et T sont perpendiculaires.1 ¡1REPONSES A L’EXERCICE II-1-a- lim f(x) = 0 lim f(x) =¡1 I-1-b- ¢ : y = 0x!¡1 x!+10 x x xI-2-a- f (x) =¡e +(1¡ x)e =¡ x ex ¡1 0 +1I-2-b-0f (x) + 0 ¡1f(x)¡101 3I-3-a- T : y =¡ex+ e T : y = x+1 ¡1e e1I-3-b- T et T sont perpendiculaires car le produit de leurs coe–cients directeurs¡e et est1 ¡1e¶egal µa¡1.GEIPI - ENI 2007 1/7MATHEMATIQUESEXERCICE I - (suite)Donner les r¶eponses aux questions suivantes de l’exercice dans le cadre pr¶evu µa la page 3I-4- On se propose d’¶etudier la position deC par rapport µa T .f ¡1Pour cela, on considµere la fonction g d¶eflnie sur R par :µ ¶x + 3xg(x) = (1 ¡ x)e ¡ :e0 00 0 00I-4-a- ...