Corrige ENSMP Mathematiques 2007 MP

66CONCOURSCOMMUN2007DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTESEpreuve Spécifique de Mathématiques(filière MPSI)Premier problèmeI. Etude d’une fonction1.• Etude en 0 à droite. D’après les théorèmes de croissance comparées1 1− 2 −Xxlim f(x) = lim e = lim X e =0 =f(0).2x→0 x→0 x X→+∞x>0 x>0Donc f est continue à droite en 0. Ensuite,f(x)−f(0) 1 1− 3 −Xxlim = lim e = lim X e =0.3x→0 x→0 X→+∞x −0 xx>0 x>0′Donc f est dérivable à droite en 0 et f (0) =0.d′f est continue et dérivable à droite en 0 et f (0) =0.d1 1−x• Etude en 0 à gauche. lim e = +∞ et lim +∞. Donc lim f(x) = +∞.2x→0 x→0 x x→0x<0 x<0 x<0lim f(x) = +∞ et f n’est pas continue à gauche en 0.x→0x<0Donc f est continue à droite en 0.1 1−x2.• Limites de f en +∞ et −∞. Quand x tend vers +∞ ou vers −∞, tend 0 et e tend vers 1. Donc2xlim f(x) = lim f(x) =0.x→−∞ x→+∞On en déduit que la droite (Ox) est asymptote à (C) en +∞ et en −∞.∗• Dérivée et variations de f. f est dérivable surR en tant que produit de fonctions dérivables et pour x =0, 2 1 1 1 1 −2x +1 1′ − − −x x xf (x) = − e + × e = e .3 2 2 4x x x x′Le signe de f est clair et on peut dresser le tableau de variations de f :x −∞ 0 1/2 +∞′f (x) + 0 + 0 −−2+∞ 4ef0 0 0∗3. f est deux fois dérivable surR et pour x =0 ′ 22 1 1 6 4 1 −2x +1 1 6x −6x +1 1′′ − − − −x x x xf (x) = (− + )e (x) = − e + e = e .3 4 4 5 6 6x x x x x xchttp ://www.maths-france.fr 1 Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.7√3− 3∗ ′′ ...