Corrige ENSMP Mathematiques 2007

777CONCOURSCOMMUN2007DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTESEpreuve de Mathématiques(toutes filières)PREMIER PROBLÈMEPartie A - Généralités1 ∞ ∗ x ∞1.• La fonction t→ − est de classe C surR à valeurs dansR et la fonction x→e est de classe C surR. Donc la+t−1/t ∞ ∗fonction f : t→e est de classe C surR .+∞ ∗ ∞ ∗• Mais alors la fonction g est de classe C sur R en tant que quotient de fonctions de classe C sur R dont le+ +∗dénominateur ne s’annule pas surR .+∞ ∗Les fonctions f et g sont de classe C surR .+De plus pour tout réel t strictement positif,−1/t1 e′ −1/ttf (t) =t× e = =g(t).2t t2. D’après un théorème de croissances comparées, on a−1/t −xe e −xlimg(t) = lim = lim = lim xe =0.x→+∞ x→+∞t→0 t→0 t 1/xt>0Par suite la fonction g a une limite réelle en 0 et est donc prolongeable par continuité en 0 en posant g(0) =0.Montrons que le prolongement obtenu, encore noté g est dérivable en 0. D’après un théorème de croissances comparées,on a−1/tg(t)−g(0) e 2 −xlim = lim = lim x e =0.2 x→+∞t→0 t−0 t→0 tt>0 t>0On en déduit que′g est dérivable en 0 et g (0) =0.3. g est dérivable sur ]0,+∞[ et pour t>0,′tf (t)−f(t) g(t)−f(t) (1−t)f(t)′g (t) = = = .2 2 3t t t′Le signe de g est clair. On en déduit le tableau de variation de g :t 0 1 +∞′g (t) 0 + 0 −−1ef0 0puis le graphe de g :chttp ://www.maths-france.fr 1 Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.b7b7711 Cge1 2 3 4 5 14. 4.a. La fonction t→g est continue sur ]0,+∞[ et ...