Corrige ENSMP Mathematiques 2006

6CONCOURSCOMMUN2006DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTESEpreuve de Mathématiques(toutes filières)PREMIER PROBLEMEEtude d’une fonction.1.D =C \ {2i}.22. a) Soient (x,y)∈R , puis z =x+iy.q2 2 2 22 2z =8−6i⇔ Re(z ) =8 et |z | = 8 +(−6) et sgn(Im(z )) = sgn(−6)  2 2 2 x −y =8 (I)  2x =18 (II)+(I)  x =±32 2 2⇔ x +y =10 (II) ⇔ 2y =2 (II)−(I) ⇔ y =±1  xy<0 xy<0 xy<0⇔ (x,y) = (3,−1) ou (x,y) = (−3,1)⇔z =3−i ouz = −3+i.Les racines carrées de 8−6i sont 3−i et −3+i.b) Soit z∈C \ {2i}.2z 2f(z) =1+i⇔ =1+i⇔z −(1+i)z−2+2i =0z−2i2 2Le discriminant de cette équation vaut (1 +i) −4(−2 +2i) = 8 −6i = (3 −i) . Cette équation admet donc deux(1+i)+(3−i) (1+i)−(3−i)solutions complexes distinctes à savoir z = =2 et z = = −1+i.1 22 2Les antécédents de 1+i par f sont 2 et −1+i.23. Soit (h,z)∈C .2z 2 2 2f(z) =h⇔ =h⇔z =h(z−2i) etz =2i⇔z =h(z−2i)⇔z −hz+2ih =0.z−2i2Le discriminant de cette équation vaut h −8ih ou encore h(h−8i).•Si h∈/ {0,8i}, ce discriminant est non nul. Dans ce cas, h admet exactement deux antécédents distincts.•Si h =0 ou h =8i, ce discriminant est nul. Dans ce cas, h admet exactement un antécédent.4. Ainsi, tout complexe h admet au moins un antécédent par f dans D. Ceci signifie que f est surjective ou encore quef(D) =C.5. 1+i a deux antécédents distincts, à savoir 2 et −1+i. f n’est donc pas injective.chttp ://www.maths-france.fr 1 Jean-Louis Rouget, 2006. Tous droits réservés.666bbb6. Soit z∈C \ {2i}. On pose z =x+iy ...