Corrige ENAC Mathematiques 2008

6CONCOURSDERECRUTEMENTD’ELEVES PILOTEDELIGNEANNEE 2008EPREUVE DE MATHEMATIQUESQuestion 1 :A)FAUXB)VRAIC)VRAID)FAUXExplication 1 :A) Pour θ =0, on obtient 1 =16+5 ce qui est faux. Donc A) est faux.B)5 5 3 2 4cos(5θ) = Re((cosθ +isinθ) ) = cos θ−10cos θsin θ+5cosθsin θ5 3 2 2 2 5 3= cos θ −10cos θ(1−cos θ)+5cosθ(1 −cos θ) =16cos θ −20cos θ +5cosθ.Donc B) est vrai.π 5 3C) Pour θ = , on obtient 16cos θ−20cos θ+5cosθ =0.10π 5 3 4 2 4 2cos est donc une l’une des racines de P =16X −20X +5X =X(16X −20X +5) ou encore de Q =16X −20X +510πcar cos =0.10 ! !√ √ 25 5 5+ 5 5− 54 2 2 2 216X −20X +5 =16 X − − =16 X − X − .8 4 8 8 r r r√ √ √5± 5 π π 5− 5 5+ 5Les racines de ce polynôme sont les nombres ± . Puisque cos > 0, cos ∈ , . Enfin,8 10 10 8 8r r√ √5− 5 π π π 5+ 5=0,5...< cos < cos et donc cos = . La réponse C) est donc vraie.8 6 10 10 8D) et par suite, la réponse D) est fausse.Question 2 :A)VRAIB)FAUXC)FAUXD)FAUXExplication 2 :√ √′ √ √ √z −z ( 3−1)+i( 3+1) 1I iπ/6= = (( 3−1)+i( 3+1))(1 −i) = 3+i =2e .z−z 1+i 2IπLa similitude considérée est de rapport 2 et d’angle . Donc B), C) et D) sont faux et A) est vrai6chttp ://www.maths-france.fr 1 Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.6Question 3 :A)FAUXB)FAUXC)FAUXD)FAUXExplication 3 : ! n n n nX X Xn n 1−cos(2kθ) 1 n 0 2 −12A) sin (kθ) = = −1 − = . La réponse A) est fausse.k k 2 2 k 2 2k=1 k=1 k=0 n n nX Xn n cos(Kπ)nB) Pour θ∈πZ, cos(2kθ) = =2 −1 = ...