Corrige EDHECL Mathematiques 2007 HEC ECO

Corrigé Mathématiques 2007 option économique Exercice 1 ................................................................................... 1) a) Soit M et N deux matrices quelconques de M (IR) et λ un réel quelconque. 2tϕ( λM + N) = ( λM + N) + ( λM + N). Or la transposition est linéaire donc on peut écrire : t t t tϕ( λM + N) = λM + N + λ M + N = λ(M + M) + (N + N), ce qui donne : ϕ( λM + N) = λ ϕ(M) + ϕ(N). L’application ϕ est linéaire. tDe plus, si M appartient à M (IR), alors M appartient aussi à M (IR), et, par stabilité de M (IR) pour 2 2 2l’addition, ϕ(M) appartient à M (IR). 2Conclusion : ϕ est un endomorphisme de M (IR). 2 b) Cherchons les images par ϕ des matrice de la base B de M (IR). 2⎛1 0 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛2 0 ⎞tϕ(E ) = E + E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 2E . 1 1 1 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟0 0 0 0 0 0⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛0 1 ⎞ ⎛0 0 ⎞ ⎛0 1 ⎞tϕ(E ) = E + E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = E + E . 2 2 2 2 3⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟0 0 1 0 1 0⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛0 0 ⎞ ⎛0 1 ⎞ ⎛0 1 ⎞tϕ(E ) = E + E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = E + E . 3 3 3 2 3⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 0 0 0 1 0⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛0 0 ⎞ ⎛0 0 ⎞ ⎛0 0 ⎞tϕ(E ) = E + E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 2E . 4 4 4 4⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟0 1 0 1 0 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠On en déduit que la matrice A de ϕ relativement à la base B est : 2 0 0 0⎛ ⎞⎜ ⎟0 1 1 0⎜ ⎟A = . ⎜ ⎟0 1 1 0⎜ ⎟⎜ ⎟0 0 0 2⎝ ⎠ c) La matrice de ϕ dans la base B est symétrique donc diagonalisable. Par conséquent ϕ est aussi diagonalisable. 1 La matrice A possède deux colonnes égales, elle n’est donc pas inversible, ce qui ...